Que dit la loi de Benford ?

Dans beaucoup de séries de nombres réels, le premier chiffre n'est pas réparti au hasard : 1 apparaît en tête environ 30 % du temps, 9 moins de 5 %. La fréquence attendue du chiffre d est log10(1 + 1/d).

Un écart à la loi de Benford prouve-t-il une fraude ?

Non. C'est un indice qui oriente le regard vers certains montants. Des écarts s'expliquent souvent par la nature de l'activité : prix fixes, abonnements, seuils.

Loi de Benford en comptabilité : tester un FEC

La loi de Benford décrit un fait surprenant : dans de nombreuses séries de nombres issues du réel, le premier chiffre n'est pas équiprobable. Le 1 arrive en tête bien plus souvent que le 9. En revue comptable, on compare la répartition des premiers chiffres des montants d'un exercice à cette loi pour repérer des zones à regarder. Un écart est un indice, jamais une preuve.

La loi

La fréquence attendue du premier chiffre d est log10(1 + 1/d). Calculée chiffre par chiffre :

Premier chiffre	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Fréquence attendue	30,1 %	17,6 %	12,5 %	9,7 %	7,9 %	6,7 %	5,8 %	5,1 %	4,6 %

D'après l'article de Wikipédia qui lui est consacré, la loi a été décrite par l'astronome Simon Newcomb en 1881, puis redécouverte par Frank Benford vers 1938. L'article rappelle aussi qu'elle a été proposée dès 1972 par l'économiste Hal Varian pour repérer la fraude fiscale.

Quand elle s'applique

L'article de Wikipédia signale qu'elle concerne des données sans échelle imposée (chiffres d'affaires, cours de bourse) et ne s'applique pas aux séries bornées ou dont le premier chiffre est contraint (numéros de téléphone, tailles humaines en mètres). En comptabilité, cela veut dire :

Oui : l'ensemble des montants de charges d'un exercice, avec beaucoup de lignes et des montants qui couvrent plusieurs ordres de grandeur.
Non : un loyer identique chaque mois, des abonnements à prix fixe, des montants plafonnés, une série de quelques dizaines de lignes.

Données de clients : secret professionnel. Un FEC de client est couvert par le secret professionnel. Avant tout essai avec un assistant d'IA : un contrat avec le prestataire qui encadre le traitement des données, les colonnes inutiles retirées, et rien envoyé à un service grand public.

Le test sur un FEC, dans un tableur

Le fichier des écritures comptables (FEC) contient les colonnes Debit et Credit (article A47 A-1 du livre des procédures fiscales). Exemple de méthode :

Une colonne Montant = Debit + Credit (d'après le Bulletin officiel des finances publiques, BOI-CF-IOR-60-40-20 § 210, la colonne opposée vaut zéro sur chaque ligne ; si le fichier utilise la variante Montant et Sens, prenez directement Montant).
Filtrer les montants supérieurs ou égaux à 10 € (les très petits montants faussent le test) et, si vous testez les charges, les comptes de classe 6.
Premier chiffre : =ENT(M2/10^ENT(LOG10(M2))) où M2 est le montant positif (formule à tester sur quelques lignes avant de l'étendre).
Compter chaque chiffre de 1 à 9 avec NB.SI, puis diviser par le nombre total de lignes.
Comparer au tableau ci-dessus, chiffre par chiffre.

Exemple illustratif sur 4 000 lignes de charges :

Chiffre	Attendu	Observé	Écart
1	30,1 %	28,9 %	−1,2 pt
4	9,7 %	14,8 %	+5,1 pts
9	4,6 %	4,2 %	−0,4 pt

Le 4 sur-représenté appelle une question : quels montants commencent par 4 ? Un filtre peut montrer, par exemple, une série de paiements juste sous un seuil interne de validation, ou plus banalement un fournisseur récurrent à 450 €.

Les limites à garder en tête

Un écart n'est pas une preuve. L'article de Wikipédia note que la loi ne distingue pas 20 de 200 000, et que des montants peuvent être légalement façonnés pour rester sous un seuil. Toute anomalie se vérifie sur les pièces.
La taille compte. Sur quelques centaines de lignes, des écarts de plusieurs points arrivent par simple hasard.
L'activité compte. Un commerce à prix ronds ou un dossier dominé par quelques contrats récurrents s'écarte de la loi sans aucune irrégularité.

Avec un assistant d'IA

Demander « fais le test de Benford sur les montants de classe 6 et liste les montants qui commencent par le chiffre le plus sur-représenté » est rapide. Vérifiez deux choses : le nombre de lignes retenues (après filtres) et la fréquence d'un chiffre recalculée par NB.SI. Le test s'intègre à la revue analytique du FEC.